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Solution 1

 
Commençons par calculer, pour tout réel \theta non multiple de 2\pi, la somme :

    \[A_{n}=\sum_{k=1}^{n}\cos\left(k\theta\right)\]


Il s’agit de la partie réelle de :

    \[G_{n}=\sum_{k=1}^{n}e^{ik\theta}=\sum_{k=1}^{n}\left(e^{i\theta}\right)^{k}\]


On reconnaît une somme géométrique de raison est différente de 1, puisque :

    \[$e^{i\theta}=1\Leftrightarrow\exists q\in\mathbb{Z};\thinspace\theta=2q\pi\]

Par conséquent :

    \[G_{n}=\frac{e^{i\theta}\left(1-e^{in\theta}\right)}{1-e^{i\theta}}\]


et la suite \left(G_{n}\right)_{n\geqslant1} est donc bornée :

    \[\forall n\in\mathbb{N^{\star}},\:\left|G_{n}\right|\leqslant\frac{2}{\left|1-e^{i\theta}\right|}\]

Il en résulte que la suite \left(A_{n}\right)_{n\geqslant1} est aussi bornée, puisque pour tout n\geqslant1 :

    \[\left|A_{n}\right|=\left|\text{Re}\left(G_{n}\right)\right|\leqslant\left|G_{n}\right|\]

Passons maintenant à :

    \[V_{n}=\sum_{k=1}^{n}\left|\sin\left(k\right)\right|\]

Tout réel appartenant à \left[0,1\right] est minoré par son carré. On voit ainsi que, pour tout n\geqslant1 :

    \begin{eqnarray*}V_{n} & \geqslant & \sum_{k=1}^{n}\sin^{2}\left(k\right)\\& = & \sum_{k=1}^{n}\frac{1-\cos\left(2k\right)}{2}\\& = & \frac{n}{2}-\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n}\cos\left(2k\right)\end{eqnarray*}


Mais la suite de terme général {\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\cos\left(2k\right)} est bornée (prendre \theta=\frac{1}{2} dans ce qui précède).

On conclut ainsi que :

    \[\boxed{\lim_{n\rightarrow\infty}V_{n}=+\infty}\]

Solution 2

Cette solution est plus “géométrique” (et aussi un peu plus courte) que la précédente.

Pour tout entier n\geqslant1, notons I_{n} l’intervalle \left[n\pi+\frac{\pi}{3},n\pi+\frac{2\pi}{3}\right].

D’une part, pour tout t\in I_{n} :

    \[\left|\sin\left(t\right)\right|\geqslant\frac{\sqrt{3}}{2}\]

et d’autre part, I_{n} est de longueur >1 dont contient au moins un entier (et probablement un seul pour une majorité d’indices n, mais là n’est pas la question). Notons p_{n} le plus petit :

    \[p_{n}=\left\lceil \frac{\left(3n+1\right)\pi}{3}\right\rceil\]

On constate que :

    \[\sum_{k=1}^{p_{n}}\left|\sin\left(k\right)\right|\geqslant\sum_{k=1}^{n}\left|\sin\left(p_{k}\right)\right|\geqslant\frac{n\sqrt{3}}{2}\]


ce qui prouve que :

    \[\lim_{n\rightarrow\infty}V_{p_{n}}=+\infty\]


La suite \left(V_{n}\right)_{n\geqslant1} est croissante et possède une suite extraite qui diverge vers +\infty; elle diverge donc elle aussi vers +\infty.


Pour consulter l’énoncé, c’est ici

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