Solution pour le challenge n° 16

Solution 1

Commençons par calculer, pour tout réel $\theta$ non multiple de $2\pi$ , la somme :

$A_{n}=\sum_{k=1}^{n}\cos\left(k\theta\right)$

Il s’agit de la partie réelle de :

$G_{n}=\sum_{k=1}^{n}e^{ik\theta}=\sum_{k=1}^{n}\left(e^{i\theta}\right)^{k}$

On reconnaît une somme géométrique de raison est différente de 1, puisque :

$$e^{i\theta}=1\Leftrightarrow\exists q\in\mathbb{Z};\thinspace\theta=2q\pi$

Par conséquent :

$G_{n}=\frac{e^{i\theta}\left(1-e^{in\theta}\right)}{1-e^{i\theta}}$

et la suite $\left(G_{n}\right)_{n\geqslant1}$ est donc bornée :

$\forall n\in\mathbb{N^{\star}},\:\left|G_{n}\right|\leqslant\frac{2}{\left|1-e^{i\theta}\right|}$

Il en résulte que la suite $\left(A_{n}\right)_{n\geqslant1}$ est aussi bornée, puisque pour tout $n\geqslant1$ :

$\left|A_{n}\right|=\left|\text{Re}\left(G_{n}\right)\right|\leqslant\left|G_{n}\right|$

Passons maintenant à :

$V_{n}=\sum_{k=1}^{n}\left|\sin\left(k\right)\right|$

Tout réel appartenant à $\left[0,1\right]$ est minoré par son carré. On voit ainsi que, pour tout $n\geqslant1$ :

$\begin{eqnarray*}V_{n} & \geqslant & \sum_{k=1}^{n}\sin^{2}\left(k\right)\\& = & \sum_{k=1}^{n}\frac{1-\cos\left(2k\right)}{2}\\& = & \frac{n}{2}-\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n}\cos\left(2k\right)\end{eqnarray*}$

Mais la suite de terme général $\sum_{k=1}^{n}\cos\left(2k\right)$ est bornée (prendre $\theta=\frac{1}{2}$ dans ce qui précède).

On conclut ainsi que :

$\boxed{\lim_{n\rightarrow\infty}V_{n}=+\infty}$

Solution 2

Cette solution est plus “géométrique” (et aussi un peu plus courte) que la précédente.

Pour tout entier $n\geqslant1,$ notons $I_{n}$ l’intervalle $\left[n\pi+\frac{\pi}{3},n\pi+\frac{2\pi}{3}\right].$

D’une part, pour tout $t\in I_{n}$ :

$\left|\sin\left(t\right)\right|\geqslant\frac{\sqrt{3}}{2}$

et d’autre part, $I_{n}$ est de longueur $>1$ dont contient au moins un entier (et probablement un seul pour une majorité d’indices $n,$ mais là n’est pas la question). Notons $p_{n}$ le plus petit :

$p_{n}=\left\lceil \frac{\left(3n+1\right)\pi}{3}\right\rceil$

On constate que :

$\sum_{k=1}^{p_{n}}\left|\sin\left(k\right)\right|\geqslant\sum_{k=1}^{n}\left|\sin\left(p_{k}\right)\right|\geqslant\frac{n\sqrt{3}}{2}$

ce qui prouve que :

$\lim_{n\rightarrow\infty}V_{p_{n}}=+\infty$

La suite $\left(V_{n}\right)_{n\geqslant1}$ est croissante et possède une suite extraite qui diverge vers $+\infty;$ elle diverge donc elle aussi vers $+\infty.$

Pour consulter l’énoncé, c’est ici

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