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Pour consulter l’énoncé, c’est ici


L’idée est de former des “paquets de termes consécutifs identiques”.

En effet, lorsque l’entier k parcourt l’ensemble \left\{ j^{2},\cdots,\left(j+1\right)^{2}-1\right\}, l’expression \left\lfloor \sqrt{k}\right\rfloor prend constamment la valeur j.

Il est donc naturel de regrouper les termes correspondants pour obtenir :

    \[ S_{n}=\sum_{j=1}^{n-1}\sum_{k=j^{2}}^{\left(j+1\right)^{2}-1}j=\sum_{j=1}^{n-1}j\left(\left(j+1\right)^{2}-1-j^{2}+1\right)=\sum_{j=1}^{n-1}j\left(2j+1\right) \]

c’est-à-dire :

    \[ S_{n}=2\sum_{j=1}^{n-1}j^{2}+\sum_{j=1}^{n-1}j=\frac{\left(n-1\right)n\left(2n-1\right)}{3}+\frac{\left(n-1\right)n}{2} \]

soit finalement :

    \[ \boxed{S_{n}=\frac{n\left(n-1\right)\left(4n+1\right)}{6}} \]

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