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L’idée est de former des “paquets de termes consécutifs identiques”.

En effet, lorsque l’entier k parcourt l’ensemble \left\{ j^{2},\cdots,\left(j+1\right)^{2}-1\right\}, l’expression \left\lfloor \sqrt{k}\right\rfloor prend constamment la valeur j.

Il est donc naturel de regrouper les termes correspondants pour obtenir :

    \begin{eqnarray*}S_{n} & = & \sum_{j=1}^{n-1}\sum_{k=j^{2}}^{\left(j+1\right)^{2}-1}j\\& = & \sum_{j=1}^{n-1}j\left(\left(j+1\right)^{2}-1-j^{2}+1\right)\\& = & \sum_{j=1}^{n-1}j\left(2j+1\right)\end{eqnarray*}


c’est-à-dire :

    \begin{eqnarray*}S_{n} & = & 2\sum_{j=1}^{n-1}j^{2}+\sum_{j=1}^{n-1}j\\& = & \frac{\left(n-1\right)n\left(2n-1\right)}{3}+\frac{\left(n-1\right)n}{2}\end{eqnarray*}


soit finalement :

    \[\boxed{S_{n}=\frac{n\left(n-1\right)\left(4n+1\right)}{6}}\]


Pour consulter l’énoncé, c’est ici

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