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Posons pour tout n\in\mathbb{N} :

    \[u_{n}=a^{n}+b^{n}\]


Clairement, u_{0}\in\mathbb{N} et u_{1}\in\mathbb{N}.

Par ailleurs, on observe que pour tout n\in\mathbb{N}^{\star} :

    \begin{eqnarray*}u_{n+1} & = & a^{n+1}+b^{n+1}\\& = & \left(a+b\right)\left(a^{n}+b^{n}\right)-ab\left(a^{n-1}+b^{n-1}\right)\\& = & \left(a+b\right)u_{n}-ab\,u_{n-1}\end{eqnarray*}


En supposant que, pour un certain n\geqslant1, les réels u_{n-1} et u_{n} sont des entiers, on voit avec l’égalité ci-dessus que c’est aussi le cas de u_{n+1}.

On a montré par récurrence (d’ordre 2) que :

    \[\forall n\in\mathbb{N},\thinspace u_{n}\in\mathbb{Z}\]


Remarque

Il n’est pas nécessaire que a et b soient entiers pour que a+b et ab le soient. Exemple :

    \[a=1+\sqrt{2}\quad\text{et}\quad b=1-\sqrt{2}\]


Bien sûr, si l’un des deux nombres a ou b est entier, alors l’autre aussi comme différence de deux entiers !


Pour consulter l’énoncé, c’est ici

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