Solution pour le challenge n° 12

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Pour consulter l’énoncé, c’est ici

Posons pour tout n\in\mathbb{N} :

    \[ u_{n}=a^{n}+b^{n} \]

Clairement, u_{0}\in\mathbb{N} et u_{1}\in\mathbb{N}.

Par ailleurs, on observe que pour tout n\in\mathbb{N}^{\star} :

    \[ u_{n+1}=a^{n+1}+b^{n+1}=\left(a+b\right)\left(a^{n}+b^{n}\right)-ab\left(a^{n-1}+b^{n-1}\right)=\left(a+b\right)u_{n}-abu_{n-1} \]

donc, si l’on suppose que, pour un certain n\geqslant1, les nombres réels u_{n-1} et u_{n} sont entiers, on voit que c’est aussi le cas de u_{n+1}.

On a ainsi montré par une récurrence (d’ordre 2) que :

    \[ \forall n\in\mathbb{N},\thinspace u_{n}\in\mathbb{Z} \]

Remarque

Il n’est pas nécessaire que a et b soient entiers pour que a+b et ab le soient. Exemple :

    \[ a=1+\sqrt{2}\quad\text{et}\quad b=1-\sqrt{2} \]

Bien sûr, si l’un des deux nombres a ou b est entier, alors l’autre aussi comme différence de deux entiers !

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