Solution pour le challenge n° 12 | Math-OS

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Posons pour tout $n\in\mathbb{N}$ :

$u_{n}=a^{n}+b^{n}$

Clairement, $u_{0}\in\mathbb{N}$ et $u_{1}\in\mathbb{N}.$

Par ailleurs, on observe que pour tout $n\in\mathbb{N}^{\star}$ :

$\begin{eqnarray*}u_{n+1} & = & a^{n+1}+b^{n+1}\\& = & \left(a+b\right)\left(a^{n}+b^{n}\right)-ab\left(a^{n-1}+b^{n-1}\right)\\& = & \left(a+b\right)u_{n}-ab\,u_{n-1}\end{eqnarray*}$

En supposant que, pour un certain $n\geqslant1,$ les réels $u_{n-1}$ et $u_{n}$ sont des entiers, on voit avec l’égalité ci-dessus que c’est aussi le cas de $u_{n+1}.$

On a montré par récurrence (d’ordre $2)$ que :

$\boxed{\forall n\in\mathbb{N},\thinspace u_{n}\in\mathbb{Z}}$

Remarque

Il n’est pas nécessaire que $a$ et $b$ soient entiers pour que $a+b$ et $ab$ le soient.

Par exemple :

$a=1+\sqrt{2}\quad\text{et}\quad b=1-\sqrt{2}$

Bien sûr, si $a+b\in\mathbb{Z}$ et si l’un des deux nombres $a$ ou $b$ est entier, alors l’autre aussi comme différence de deux entiers !

Pour consulter l’énoncé, c’est ici

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