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Notons p=a+b+c+d et supposons p\in\mathbb{P}. L’hypothèse ad=bc prend la forme :

    \[a\left(p-a-b-c\right)=bc\]


c’est-à-dire :

    \[pa=a^{2}+ab+ac+bc\]


ou encore :

    \[pa=\left(a+b\right)\left(a+c\right)\]


D’après le lemme d’Euclide (voir ci-dessous), on voit que :

    \[p\mid a+b\qquad\text{ou}\qquad p\mid a+c\]


ce qui est absurde puisque p>a+b et p>a+c.

En conclusion a+b+c+d\notin\mathbb{P}.


En arithmétique, le “lemme d’Euclide” s’énonce comme suit.

Lemme

Etant donné un nombre premier p et deux entiers a,b tels que a\geqslant2 et b\geqslant2 :

Si p\mid ab alors p\mid a ou p\mid b.

Ce résultat peut être vu comme un corollaire du théorème de Gauss (même si ce point de vue est quelque peu anachronique !).


Pour consulter l’énoncé, c’est ici

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