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Notons p=a+b+c+d et supposons p\in\mathbb{P}. L’hypothèse ad=bc prend la forme :

    \[a\left(p-a-b-c\right)=bc\]


c’est-à-dire :

    \[pa=a^{2}+ab+ac+bc\]


ou encore :

    \[pa=\left(a+b\right)\left(a+c\right)\]


D’après le lemme d’Euclide (voir ci-dessous), on voit que :

    \[p\mid a+b\qquad\text{ou}\qquad p\mid a+c\]


ce qui est absurde puisque p>a+b et p>a+c.

En conclusion a+b+c+d\notin\mathbb{P}.


En arithmétique, le “lemme d’Euclide” s’énonce comme suit.

Lemme

Etant donné un nombre premier p et deux entiers a,b tels que a\geqslant2 et b\geqslant2 :

Si p\mid ab alors p\mid a ou p\mid b.

Ce résultat peut être vu comme un corollaire du théorème de Gauss (même si ce point de vue est quelque peu anachronique !).


Pour consulter l’énoncé, c’est ici

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Cet article a 1 commentaire

  1. René Adad

    Je viens de recevoir une solution incorrecte, que je recopie ci-dessous.

    Si vous êtes l’auteur de cette solution, sachez que je vous ai répondu mais votre adresse mail est invalide.

    Vous pouvez me joindre en passant par le formulaire de contact et me laisser une adresse mail fonctionnelle, afin que je puisse vous communiquer ma réponse.

    En l’absence de réaction de votre part, ce message sera détruit sous 8 jours.

    ——–
    a + b + c + d est un nombre premier si et seulement si

    – Un des entiers a, b, c ou d est égal à 2 :
    Dans ce cas la, ad ou bc serait égal à un multiple de 2 or c’est impossible que le multiple de 2 nombres nombres premiers (donc impaire -on exclue le 2-) ne soit égal à un nombre pair.

    – Trois des entiers a, b, c ou d sont égal à 2 :
    Ce qui est impossible car cela sous-entendrait que le dernier entier soit égal à 4. Or, 4 n’est pas un nombre premier.

    Donc a + b + c + d n’est pas un nombre premier
    ——–

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