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Pour consulter l’énoncé, c’est ici

Posons p=2q+1, avec q\in\mathbb{N}. Alors, pour tout n\geqslant1 :

    \[ 2\,S_{n}=\sum_{k=1}^{n}\,\left(k^{2q+1}+\left(n+1-k\right)^{2q+1}\right) \]

Or, pour tout \left(a,b\right)\in\mathbb{R}^{2} :

    \[ a^{2q+1}+b^{2q+1}=\left(a+b\right)\,\sum_{i=0}^{2q}\,\left(-1\right)^{i}a^{i}\,b^{2q-i} \]

donc, pour tout k\in\left\{ 1,\cdots,n\right\} , l’entier k^{2q+1}+\left(n+1-k\right)^{2q+1} est multiple de k+\left(n+1-k\right)=n+1. Ainsi :

(1)   \[ n+1\mid2\,S_{n} \]

Il s’ensuit que, si n\geqslant2, alors n\mid2S_{n-1}; or 2S_{n}=2S_{n-1}+2n^{2q+1} et donc

(2)   \[ n\mid2S_{n} \]

ce qui est encore vrai pour n=1.

D’après (1) et (2) et vu que n et n+1 sont premiers entre eux, on en déduit que :

    \[ n\left(n+1\right)\mid2\,S_{n} \]

Enfin, l’entier n\left(n+1\right) étant pair, on peut écrire cette dernière relation sous la forme :

    \[ \boxed{\frac{n\left(n+1\right)}{2}\mid S_{n}} \]

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