
Afin de tracer avec justesse le graphe demandé, il sera utile de connaître ses intersections avec l’axe des abscisses. Résolvons donc l’équation :
Visiblement, 0 et 1 sont solutions, ce qui prouve l’existence de deux réels tels que :
Par identification des coefficients, on trouve : et
L’équation équivaut donc à
càd
Finalement, les solutions de sont -2, 0 et 1.
Etudions à présent les variations de Pour tout
:
Les racines du trinôme sont :
Notons encore et
. Un petit calcul montre que :
Voici le tableau de variations de :

puis le graphe de :

Passons à la preuve de l’existence d’une unique droite bitangente au graphe de c’est-à-dire tangente simultanément en deux points distincts de celui-ci.
On cherche deux réels tels que les tangentes à
aux points d’abscisses
et
soient confondues. Comme, pour tout
:
et
l’équation de la tangente au point d’abscisse est :
La condition imposée est donc :
d’où :
ou encore, en factorisant dans chaque égalité par
La relation fait apparaître deux cas :
- 1er cas :
Alors, d’après (1) :
d’où
Commenécessairement :
- 2ème cas :
D’après (2) :
Donc, par différence
et donc
ce qui est exclu par hypothèse.
Finalement, la seule possibilité est celle obtenue au 1er cas.
Il existe donc une unique droite bitangente à Elle admet pour équation
avec :
soit :
Pour finir : voici le graphe de , la droite bitangente et les deux points de contact.

Pour consulter l’énoncé, c’est ici
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