Solution pour le challenge n° 7

On étudie les variations de la fonction :

$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},x\mapsto\ln(1+x)\ln\left(1+\frac 1x\right)$

Pour cela, on cherche le signe de sa dérivée. Pour tout $x>0$ :

$f'\left(x\right)=\frac{1}{1+x}\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)-\frac{1}{x\left(1+x\right)}\ln\left(1+x\right)$

Cette expression est du signe de :

$g\left(x\right)=x\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)-\ln\left(1+x\right)$

que l’on dérive à son tour pour obtenir :

$g'\left(x\right)=\frac{x}{1+x}\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)-\frac{1}{1+x}$

Et cette dernière expression est du signe de :

$h\left(x\right)=\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)-\frac{1}{x}$

Or, il est connu que :

$\forall t>-1,\:\ln\left(1+t\right)\leqslant t\qquad\left(\spadesuit\right)$

On en déduit que $h\left(x\right)<0,$ pour tout $x>0;$ et donc que $g$ décroît. Comme $g\left(1\right)=0,$ on en déduit que $g$ est positive sur $\left]0,1\right[$ et négative sur $\left]1,+\infty\right[.$ Par conséquent $f$ croît sur $\left]\text{0,1}\right]$ et décroît sur $\left[1,+\infty\right[.$