
On étudie les variations de la fonction :
Pour cela, on cherche le signe de sa dérivée. Pour tout :
Cette expression est du signe de :
Et cette dernière expression est du signe de :
On en déduit que pour tout
et donc que
décroît. Comme
on en déduit que
est positive sur
et négative sur
Par conséquent
croît sur
et décroît sur
Finalement, présente un maximum atteint pour
Ce maximum est
En conclusion, on a prouvé que :
Remarque
En appliquant deux fois on voit directement que :
L’illustration ci-dessous montre le graphe de , construit en repère orthonormal :

Pour consulter l’énoncé, c’est ici
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