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La série proposée converge, par comparaison avec une série géométrique; en effet si l’on pose q=1-2^{-n}, alors pour tout k\in\mathbb{N} :

    \[ 2^{k}\geqslant k\qquad\text{et donc : }0\leqslant q^{2^{k}}\leqslant q^{k} \]

Afin d’établir l’inégalité demandée, on va “couper la série en deux” et montrer

  • d’une part, que :

        \[ \sum_{k=0}^{n-1}\left(1-2^{-n}\right)^{2^{k}}<n\qquad\left(\spadesuit\right) \]

  • et d’autre part, que :

        \[ \sum_{k=n}^{\infty}\left(1-2^{-n}\right)^{2^{k}}<1\qquad\left(\clubsuit\right) \]

    Il suffira, pour conclure, d’ajouter membre à membre ces deux inégalités. L’inégalité \left(\spadesuit\right) est évidente : la somme comporte n termes et chacun est majoré (strictement) par 1. Il reste donc à prouver \left(\clubsuit\right).
    On sait (inégalité de Bernoulli) que, si \epsilon>0 et p\geqslant2 (p entier) alors :

        \[ \left(1+\epsilon\right)^{p}>1+p\epsilon \]

En choisissant \epsilon=\frac{1}{p} :

    \[ \left(1+\frac{1}{p}\right)^{p}>2 \]

ou encore :

    \[ \left(1-\frac{1}{p+1}\right)^{p}<\frac{1}{2} \]

Et en choisissant maintenant p=2^{n}-1 :

    \[ \left(1-2^{-n}\right)^{2^{n}-1}<\frac{1}{2} \]

A fortiori :

    \[ \left(1-2^{-n}\right)^{2^{n}}<\frac{1}{2} \]

On voit alors que :

    \[ \sum_{k=n}^{\infty}\left(1-2^{-n}\right)^{2^{k}}=\sum_{k=n}^{\infty}\left[\left(1-2^{-n}\right)^{2^{n}}\right]^{2^{k-n}}=\sum_{k=0}^{\infty}\left[\left(1-2^{-n}\right)^{2^{n}}\right]^{2^{k}} \]

et donc :

    \[ \sum_{k=n}^{\infty}\left(1-2^{-n}\right)^{2^{k}}<\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{2^{k}}<\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{k}=1 \]

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