Solution pour le challenge n° 5

Etape 1

Soit $x\neq0.$ En remplaçant $y$ par $0$ dans $\left(\star\right)$ :

(1) $f\left(x\right)f\left(0\right)=\left|x\right|f\left(-\frac{1}{x}\right)$

Ceci montre déjà que si $f\left(0\right)=0,$ alors :

$\forall x\in\mathbb{R}-\left\{ 0\right\} ,\thinspace f\left(-\frac{1}{x}\right)=0$

Comme tout réel non nul est de la forme $- \frac{1}{x}$ pour un certain $x\neq 0$ , $f$ est la fonction nulle.

On suppose désormais que $f\left(0\right)\neq0.$

Etape 2

Soient $x\in\mathbb{R}$ quelconque et $y\neq0.$ En appliquant $\left(\star\right)$ au couple $\left(x,x-y\right)$ :

$f\left(x\right)f\left(x-y\right)=\left|y\right|f\left(\frac{x^{2}-xy+1}{y}\right)$

et en appliquant $\left(\star\right)$ au couple $\left(y-x,-x\right)$ :

$f\left(-x\right)f\left(y-x\right)=\left|y\right|f\left(\frac{x^{2}-xy+1}{y}\right)$

Il en résulte que :

$f\left(x\right)f\left(x-y\right)=f\left(-x\right)f\left(y-x\right)$

En particulier, pour $x=0$ :

$f\left(0\right)f\left(-y\right)=f\left(0\right)f\left(y\right)$

c’est-à-dire, après simplification par $f\left(0\right)$ :

$\forall y\neq0,\thinspace f\left(-y\right)=f\left(y\right)$

Ceci montre que $f$ est paire.

Etape 3

Si $x\neq0,$ on obtient en appliquant $\left(\star\right)$ au couple $\left(x,-\frac{1}{x}\right)$ :

(2) $f\left(x\right)f\left(-\frac{1}{x}\right)=\left|x+\frac{1}{x}\right|f\left(0\right)$

Donc :

$f\left(x\right)^{2}f\left(0\right)\underset{\left(1\right)}{=}\left|x\right|f\left(x\right)f\left(-\frac{1}{x}\right)\underset{\left(2\right)}{=}\left(x^{2}+1\right)f\left(0\right)$

puis, en simplifiant par $f\left(0\right)$ (dont on rappelle qu’il est non nul…) :

(3) $\forall x\in\mathbb{R}-\left\{ 0\right\} ,\thinspace\left|f\left(x\right)\right|=\sqrt{x^{2}+1}$

Etape 4

En appliquant $\left(\star\right)$ au couple $\left(x,-x\right)$ pour $x\neq0$ :

$f\left(x\right)f\left(-x\right)=2\left|x\right|f\left(\frac{1-x^{2}}{2x}\right)$

c’est-à-dire (vu que $f$ est paire) :

$f\left(\frac{1-x^{2}}{2x}\right)=\frac{f\left(x\right)^{2}}{2\left|x\right|}\geqslant0$

Comme l’équation $\frac{1-x^{2}}{2x}=t$ admet des solutions pour tout $t\neq0,$ on a prouvé que :

(4) $\forall t\in\mathbb{R}-\left{ 0\right} ,\thinspace f\left(t\right)\geqslant0$

En confrontant $\left(3\right)$ et $\left(4\right),$ on conclut que, pour tout réel non nul $x$ :

$f\left(x\right)=\sqrt{x^{2}+1}$

Cette égalité vaut encore pour $x=0.$ En effet, en appliquant $\left(\star\right)$ au couple $\left(1,0\right),$ on trouve $f\left(1\right)f\left(0\right)=f\left(1\right)$ et comme $f\left(1\right)\neq0$ (on sait maintenant que $f\left(1\right)=\sqrt{2}),$ alors $f\left(0\right)=1.$