Solution pour le challenge n° 5

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Il s’agissait de trouver toutes les applications f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} vérifiant, pour tout couple \left(x,y\right) de nombres réels distincts :

    \[ f\left(x\right)f\left(y\right)=\left|x-y\right|\thinspace f\left(\frac{xy+1}{x-y}\right)\qquad\left(\star\right) \]

 

Etape 1

Soit x\neq0. En remplaçant y par 0 dans \left(\star\right) :

(1)   \[ f\left(x\right)f\left(0\right)=\left|x\right|f\left(-\frac{1}{x}\right) \]

Ceci montre déjà que si f\left(0\right)=0, alors :

    \[ \forall x\in\mathbb{R}-\left\{ 0\right\} ,\thinspace f\left(-\frac{1}{x}\right)=0 \]

Comme tout réel non nul est de la forme -\frac{1}{x} pour un certain x\neq 0, on voit que f est la fonction nulle.
On suppose désormais que f\left(0\right)\neq0.

Etape 2

Soient x\in\mathbb{R} quelconque et y\neq0. En appliquant \left(\star\right) au couple \left(x,x-y\right) :

    \[ f\left(x\right)f\left(x-y\right)=\left|y\right|f\left(\frac{x^{2}-xy+1}{y}\right) \]

et en appliquant \left(\star\right) au couple \left(y-x,-x\right) :

    \[ f\left(-x\right)f\left(y-x\right)=\left|y\right|f\left(\frac{x^{2}-xy+1}{y}\right) \]

Il en résulte que :

    \[ f\left(x\right)f\left(x-y\right)=f\left(-x\right)f\left(y-x\right) \]

En particulier, pour x=0 :

    \[ f\left(0\right)f\left(-y\right)=f\left(0\right)f\left(y\right) \]

c’est-à-dire, après simplification par f\left(0\right) :

    \[ \forall y\neq0,\thinspace f\left(-y\right)=f\left(y\right) \]

Ceci montre que f est paire.

Etape 3

Si x\neq0, on obtient en appliquant \left(\star\right) au couple \left(x,-\frac{1}{x}\right) :

(2)   \[ f\left(x\right)f\left(-\frac{1}{x}\right)=\left|x+\frac{1}{x}\right|f\left(0\right) \]

Donc :

    \[ f\left(x\right)^{2}f\left(0\right)\underset{\left(1\right)}{=}\left|x\right|f\left(x\right)f\left(-\frac{1}{x}\right)\underset{\left(2\right)}{=}\left(x^{2}+1\right)f\left(0\right) \]

puis, en simplifiant par f\left(0\right) (dont on rappelle qu’il est non nul…) :

(3)   \[ \forall x\in\mathbb{R}-\left\{ 0\right\} ,\thinspace\left|f\left(x\right)\right|=\sqrt{x^{2}+1} \]

Etape 4

En appliquant \left(\star\right) au couple \left(x,-x\right) pour x\neq0 :

    \[ f\left(x\right)f\left(-x\right)=2\left|x\right|f\left(\frac{1-x^{2}}{2x}\right) \]

c’est-à-dire (vu que f est paire) :

    \[ f\left(\frac{1-x^{2}}{2x}\right)=\frac{f\left(x\right)^{2}}{2\left|x\right|}\geqslant0 \]

Comme l’équation \frac{1-x^{2}}{2x}=t admet des solutions pour tout t\neq0, on a prouvé que :

({4)   \[ \forall t\in\mathbb{R}-\left\{ 0\right\} ,\thinspace f\left(t\right)\geqslant0} \]

En confrontant \left(3\right) et \left(4\right), on conclut que, pour tout réel non nul x :

    \[ f\left(x\right)=\sqrt{x^{2}+1} \]

Cette égalité vaut encore pour x=0. En effet, en appliquant \left(\star\right) au couple \left(1,0\right), on trouve f\left(1\right)f\left(0\right)=f\left(1\right) et comme f\left(1\right)\neq0 (on sait maintenant que f\left(1\right)=\sqrt{2}), alors f\left(0\right)=1.

Etape 5

En conclusion, les deux seules solutions possibles pour l’équation fonctionnelle proposée sont :

    \[ \boxed{x\mapsto0\qquad\text{et}\qquad x\mapsto\sqrt{x^{2}+1}} \]

qui conviennent effectivement.

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