
Etape 1
Soit En remplaçant
par
dans
:
(1)
Ceci montre déjà que si
Comme tout réel non nul est de la forme
On suppose désormais que
Etape 2
Soient quelconque et
En appliquant
au couple
:
et en appliquant
Il en résulte que :
En particulier, pour
c’est-à-dire, après simplification par :
Ceci montre que
Etape 3
Si on obtient en appliquant
au couple
:
(2)
Donc :
puis, en simplifiant par
(3)
Etape 4
En appliquant au couple
pour
:
c’est-à-dire (vu que
Comme l’équation
(4)
En confrontant
Cette égalité vaut encore pour En effet, en appliquant
au couple
on trouve
et comme
(on sait maintenant que
alors
Etape 5
En conclusion, les deux seules solutions possibles pour l’équation fonctionnelle proposée sont :
Pour consulter l’énoncé, c’est ici
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