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Pour consulter l’énoncé, c’est ici

Il faut penser à utiliser les nombres complexes ! Posons dans toute la suite :

    \[ \omega=\frac{2\pi}{7},\qquad z=e^{i\omega}\qquad\text{et}\qquad A=z+z^{2}+z^{4} \]

D’après la formule de Moivre :

    \[ A=e^{2i\pi/7}+e^{4i\pi/7}+e^{8i\pi/7} \]

Le but du jeu est donc de calculer la partie imaginaire de A.

Or, l’expression qui définit A est un fragment de somme géométrique; en effet :

    \[ 1+\boxed{z}+\boxed{z^{2}}+z^{3}+\boxed{z^{4}}+z^{5}+z^{6}=\frac{1-z^{7}}{1-z}=0\qquad\left(\spadesuit\right) \]

car z est une racine septième de l’unité. Il est donc naturel d’introduire :

    \[ B=z^{3}+z^{5}+z^{6} \]

L’étape suivante consiste à observer que la somme et le produit de A et B sont aisément calculables. En effet :

    \[ A+B=-1\qquad\text{(d'après }\spadesuit) \]

et

    \begin{eqnarray*} AB & = & \left(z+z^{2}+z^{4}\right)\left(z^{3}+z^{5}+z^{6}\right)\\ & = & z^{4}+z^{6}+z^{7}\\ & & +z^{5}+z^{7}+z^{8}\\ & & +z^{7}+z^{9}+z^{10}\\ \end{eqnarray*}

c’est-à-dire (compte tenu de l’égalité z^{7}=1) :

    \[ AB=3+z+z^{2}+z^{3}+z^{4}+z^{5}+z^{6}=3+A+B=2 \]

Bref, on a prouvé que :

    \[ \left\{ \begin{array}{ccc} A+B & = & -1\\ AB & = & 2 \end{array}\right. \]

Il s’ensuit que A et B sont les racines du trinôme P=X^{2}+X+2. Le discriminant de P est \Delta=-7 et ses racines complexes sont donc :

    \[ \frac{-1-i\sqrt{7}}{2}\qquad\text{et}\qquad\frac{-1+i\sqrt{7}}{2} \]

Il reste à déterminer laquelle des deux correspond à A. Pour cela, il est logique de s’intéresser au signe de la partie imaginaire de A :

    \[ \text{Im}\left(A\right)=\sin\left(\frac{2\pi}{7}\right)+\sin\left(\frac{4\pi}{7}\right)+\sin\left(\frac{8\pi}{7}\right)=\sin\left(\frac{2\pi}{7}\right)+\sin\left(\frac{4\pi}{7}\right)-\sin\left(\frac{\pi}{7}\right) \]

Or, d’une part :

    \[ \frac{4\pi}{7}\in\left[0,\pi\right]\qquad\text{donc : }\sin\left(\frac{4\pi}{7}\right)\geqslant0 \]

et, d’autre part, comme \sin est croissante sur {\displaystyle \left[0,\frac{\pi}{2}\right]} :

    \[ \sin\left(\frac{2\pi}{7}\right)-\sin\left(\frac{\pi}{7}\right)\geqslant0 \]

Finalement, la partie imaginaire de A est positive; ce qui prouve que :

    \[ A=\frac{-1+i\sqrt{7}}{2} \]

et donc :

    \[ \boxed{\sin\left(\frac{2\pi}{7}\right)+\sin\left(\frac{4\pi}{7}\right)+\sin\left(\frac{8\pi}{7}\right)=\frac{\sqrt{7}}{2}} \]

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