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Il faut penser à utiliser les nombres complexes ! Posons dans toute la suite :

    \[\omega=\frac{2\pi}{7},\qquad z=e^{i\omega}\qquad\text{et}\qquad A=z+z^{2}+z^{4}\]

D’après la formule de Moivre :

    \[A=e^{2i\pi/7}+e^{4i\pi/7}+e^{8i\pi/7}\]

Le but du jeu est de calculer la partie imaginaire de A.

Or, l’expression qui définit A est un fragment de somme géométrique; en effet :

    \[1+\boxed{z}+\boxed{z^{2}}+z^{3}+\boxed{z^{4}}+z^{5}+z^{6}=\frac{1-z^{7}}{1-z}=0\qquad\left(\spadesuit\right)\]


car z est une racine septième de l’unité. Il est donc naturel d’introduire :

    \[B=z^{3}+z^{5}+z^{6}\]


L’étape suivante consiste à observer que la somme et le produit de A et B sont aisément calculables. En effet :

    \[A+B=-1\qquad\text{(d'après }\spadesuit)\]


et

    \begin{eqnarray*}AB & = & \left(z+z^{2}+z^{4}\right)\left(z^{3}+z^{5}+z^{6}\right)\\& = & z^{4}+z^{6}+z^{7}\\& & +z^{5}+z^{7}+z^{8}\\& & +z^{7}+z^{9}+z^{10}\\\end{eqnarray*}


c’est-à-dire (compte tenu de l’égalité z^{7}=1) :

    \begin{eqnarray*}AB & = & 3+z+z^{2}+z^{3}+z^{4}+z^{5}+z^{6}\\& = & 3+A+B\\& = & 2\end{eqnarray*}


Bref, on a prouvé que :

    \[\left\{ \begin{array}{ccc}A+B & = & -1\\AB & = & 2\end{array}\right.\]


Il s’ensuit que A et B sont les racines du trinôme P=X^{2}+X+2. Le discriminant de P est \Delta=-7 et ses racines complexes sont donc :

    \[\frac{-1-i\sqrt{7}}{2}\qquad\text{et}\qquad\frac{-1+i\sqrt{7}}{2}\]


Il reste à déterminer laquelle des deux correspond à A. Pour cela, il est logique de s’intéresser au signe de la partie imaginaire de A :

    \begin{eqnarray*}\text{Im}\left(A\right) & = & \sin\left(\frac{2\pi}{7}\right)+\sin\left(\frac{4\pi}{7}\right)+\sin\left(\frac{8\pi}{7}\right)\\& = & \sin\left(\frac{2\pi}{7}\right)+\sin\left(\frac{4\pi}{7}\right)-\sin\left(\frac{\pi}{7}\right)\end{eqnarray*}


Or, d’une part :

    \[\frac{4\pi}{7}\in\left[0,\pi\right]\qquad\text{donc : }\sin\left(\frac{4\pi}{7}\right)\geqslant0\]


et, d’autre part, comme \sin est croissante sur {\displaystyle \left[0,\frac{\pi}{2}\right]} :

    \[\sin\left(\frac{2\pi}{7}\right)-\sin\left(\frac{\pi}{7}\right)\geqslant0\]


Finalement, la partie imaginaire de A est positive; ce qui prouve que :

    \[A=\frac{-1+i\sqrt{7}}{2}\]


et donc :

    \[\boxed{\sin\left(\frac{2\pi}{7}\right)+\sin\left(\frac{4\pi}{7}\right)+\sin\left(\frac{8\pi}{7}\right)=\frac{\sqrt{7}}{2}}\]


Pour consulter l’énoncé, c’est ici

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