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Supposons l’existence de y\in\mathbb{R} possédant deux antécédents. Il existe donc des réels a<b tels que f\left(a\right)=f\left(b\right)=y.

Comme f ne peut pas reprendre la valeur y, ni dans \left]-\infty,a\right[ ni dans \left]b,+\infty\right[, alors (d’après le théorème des valeurs intermédiaires), quatre cas se présentent a priori :

  • Cas I

        \[\forall t\in\left]-\infty,a\right[,\:f\left(t\right)<y\qquad\text{et}\qquad\forall t\in\left]b,+\infty\right[,\thinspace f\left(t\right)>y\]

  • Cas II

        \[\forall t\in\left]-\infty,a\right[,\:f\left(t\right)>y\qquad\text{et}\qquad\forall t\in\left]b,+\infty\right[,\thinspace f\left(t\right)<y\]

  • Cas III

        \[\forall t\in\left]-\infty,a\right[,\:f\left(t\right)<y\qquad\text{et}\qquad\forall t\in\left]b,+\infty\right[,\thinspace f\left(t\right)<y\]

  • Cas IV

        \[\forall t\in\left]-\infty,a\right[,\:f\left(t\right)>y\qquad\text{et}\qquad\forall t\in\left]b,+\infty\right[,\thinspace f\left(t\right)>y\]

En fait, les cas III et IV sont exclus. En effet, dans le cas III, f serait majorée sur \left]-\infty,a\right[\cup\left]b,+\infty\right[, mais comme f est aussi majorée sur \left[a,b\right] (continuité sur un segment), f serait finalement majorée sur \mathbb{R} entier, ce qui est absurde (puisque, par hypothèse, f est censée être surjective). Justification analogue pour le cas IV (en remplaçant “majorée” par “minorée”).

Plaçons-nous maintenant dans le cas I (la preuve est analogue pour le cas II).

Comme f n’est pas constante sur \left[a,b\right] (sans quoi y possèderait une infinité d’antécédents) il existe c\in\left]a,b\right[ tel que f\left(c\right)\neq y.

Supposons par exemple f\left(c\right)>y et notons M le maximum de f sur \left[a,b\right].

Nécessairement : M>y puisque M\geqslant f\left(c\right).

Considérons alors \lambda\in\left]y,M\right[. D’après le théorème des valeurs intermédiaires, \lambda est atteint dans \left]a,c\right[ et dans \left]c,b\right[. En outre, f ne peut pas être majorée sur \left]b,+\infty\right[ puisqu’elle l’est déjà sur \left]-\infty,b\right] et qu’elle est surjective. Par conséquent (toujours d’après le TVI), \lambda est atteint aussi dans \left]b,+\infty\right[.

Moralité : \lambda est atteint au moins trois fois, contradiction ! Finalement, tout y\in\mathbb{R} possède un unique antécédent par f, ce qui montre que f est bijective.


Pour consulter l’énoncé, c’est ici


 

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Supposons l’existence de y\in\mathbb{R} possédant deux antécédents. Il existe donc des réels a<b tels que f\left(a\right)=f\left(b\right)=y.

Comme f ne peut pas reprendre la valeur y, ni dans \left]-\infty,a\right[ ni dans \left]b,+\infty\right[, alors (d’après le théorème des valeurs intermédiaires), quatre cas se présentent a priori :

  • Cas I :

        \[\forall t\in\left]-\infty,a\right[,\:f\left(t\right)<y\qquad\text{et}\qquad\forall t\in\left]b,+\infty\right[,\thinspace f\left(t\right)>y\]

  • Cas II :

        \[\forall t\in\left]-\infty,a\right[,\:f\left(t\right)>y\qquad\text{et}\qquad\forall t\in\left]b,+\infty\right[,\thinspace f\left(t\right)<y\]

  • Cas III :

        \[\forall t\in\left]-\infty,a\right[,\:f\left(t\right)<y\qquad\text{et}\qquad\forall t\in\left]b,+\infty\right[,\thinspace f\left(t\right)<y\]

  • Cas IV :

        \[\forall t\in\left]-\infty,a\right[,\:f\left(t\right)>y\qquad\text{et}\qquad\forall t\in\left]b,+\infty\right[,\thinspace f\left(t\right)>y\]

En fait, les cas III et IV sont exclus. En effet, dans le cas III, f serait majorée sur \left]-\infty,a\right[\cup\left]b,+\infty\right[, mais comme f est aussi majorée sur \left[a,b\right] (continuité sur un segment), f serait finalement majorée sur \mathbb{R} entier, ce qui est absurde (puisque, par hypothèse, f est censée être surjective). Justification analogue pour le cas IV (en remplaçant “majorée” par “minorée”).

Plaçons-nous maintenant dans le cas I (la preuve est analogue pour le cas II).

Comme f n’est pas constante sur \left[a,b\right] (sans quoi y possèderait une infinité d’antécédents) il existe c\in\left]a,b\right[ tel que f\left(c\right)\neq y.

Supposons par exemple f\left(c\right)>y et notons M le maximum de f sur \left[a,b\right].

Nécessairement : M>y puisque M\geqslant f\left(c\right).

Considérons alors \lambda\in\left]y,M\right[. D’après le théorème des valeurs intermédiaires, \lambda est atteint dans \left]a,c\right[ et dans \left]c,b\right[. En outre, f ne peut pas être majorée sur \left]b,+\infty\right[ puisqu’elle l’est déjà sur \left]-\infty,b\right] et qu’elle est surjective. Par conséquent (toujours d’après le TVI), \lambda est atteint aussi dans \left]b,+\infty\right[.

Moralité : \lambda est atteint au moins trois fois, contradiction ! Finalement, tout y\in\mathbb{R} possède un unique antécédent par f, ce qui montre que f est bijective.

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