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Commençons par observer que :

(\spadesuit) Si trois entiers (ou plus) ont pour produit 1 ou -1, alors deux d’entre eux sont égaux.

Cette remarque est une simple conséquence du principe des tiroirs , vu qu’on a trois facteurs et que chacun d’eux ne peut valoir que -1 ou 1.

Cela dit, il existe par hypothèse R\left(X\right)\in\mathbb{Z}\left[X\right] tel que :

    \[P\left(X\right)-5=\left(X-a\right)\left(X-b\right)\left(X-c\right)\left(X-d\right)R\left(X\right)\]

Il s’agit de montrer qu’il n’existe aucun entier k pour lequel

    \[\left(k-a\right)\left(k-b\right)\left(k-c\right)\left(k-d\right)R\left(k\right)=3\]

Supposons l’existence d’un tel k et notons :

    \[A=k-a,\quad B=k-b,\quad C=k-c,\quad D=k-d\]

Comme 3 est premier, deux cas se présentent :

1er cas : R\left(k\right)=\pm3.

Alors ABCD=\pm1.

D’après \spadesuit, deux des quatre entiers A,B,C,D sont égaux : absurde.

2ème cas : R\left(k\right)=\pm1.

Alors l’un des quatre entiers A,B,C ou D vaut \pm3, donc le produit des trois autres vaut \pm1, et deux d’entre eux sont égaux d’après \spadesuit : nouvelle contradiction .

Remarque

En remplaçant 4 par 3, on perd la conclusion.

Il existe en effet P\in\mathbb{Z}\left[X\right] prenant trois fois la valeur 5 et prenant aussi la valeur 8 (chaque fois en des entiers). Par exemple :

    \[P\left(X\right)=5+\left(X+1\right)\left(X-1\right)\left(X-3\right)\]


Manifestement : P(-1)=P(1)=P(3)=5 et P(0)=8.


Pour consulter l’énoncé, c’est ici

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