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Solution 1

  • Si a\geqslant2 et c\geqslant2, alors :

        \[a+b=cd\geqslant2d\geqslant c+d=ab\geqslant2b\geqslant a+b\]

    donc chacune de ces inégalités est une égalité. En particulier : a+b=ab, c’est-à-dire \left(a-1\right)\left(b-1\right)=1, ce qui impose a=b=2. De la même façon c=d=2. Bref : \left(a,b,c,d\right)=\left(2,2,2,2\right).
  • Supposons maintenant le contraire, c’est-à-dire : a=1 ou b=1. Si par exemple a=1, alors par hypothèse :

        \begin{eqnarray*}1+b & = & cd\\c+d & = & b\end{eqnarray*}

    donc cd=1+c+d, c’est-à-dire \left(c-1\right)\left(d-1\right)=2. Vu que c\leqslant d, il s’ensuit que c=2 et d=3, d’où b=5. Ainsi \left(a,b,c,d\right)=\left(1,5,2,3\right). Et si c=1, on parvient de même à \left(a,b,c,d\right)=\left(2,3,1,5\right).

En conclusion, l’ensemble des quadruplets recherchés est :

    \[ \boxed{\mathcal{S}=\left\{\left(2,2,2,2\right),\:\left(1,5,2,3\right),\:\left(2,3,1,5\right)\right\}}\]

Solution 2

On observe que :

    \begin{eqnarray*}\left(a-1\right)\left(b-1\right)+\left(c-1\right)\left(d-1\right) & = & ab-a-b+1+cd-c-d+1\\& = & ab-\left(c+d\right)+cd-\left(a+b\right)+2\\& = & 2\end{eqnarray*}

  • Si \left(a-1\right)\left(b-1\right)=\left(c-1\right)\left(d-1\right)=1, alors \left(a,b,c,d\right)=\left(2,2,2,2\right)
  • Sinon, il vient :

        \[\begin{matrix}\left(a-1\right)\left(b-1\right) & = & 2\cr\left(c-1\right)\left(d-1\right) & = & 0\end{matrix}\qquad\text{ou}\qquad\begin{matrix}\left(a-1\right)\left(b-1\right) & = & 0\cr\left(c-1\right)\left(d-1\right) & = & 2\end{matrix}\]

    Compte tenu des conditions a\leqslant b et c\leqslant d, la première possibilité conduit à \left(a,b,c,d\right)=\left(2,3,1,5\right). De même, la seconde conduit à \left(a,b,c,d\right)=\left(1,5,2,3\right).

Pour consulter l’énoncé, c’est ici

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