Solution pour le challenge n° 15

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Pour consulter l’énoncé, c’est ici

 

On observe que, pour tout n\geqslant1 :

    \[ u_{n+2}=u_{n}+3 \]

On peut donc appliquer la méthode classique pour les suites vérifiant une relation de récurrence linéaire à coefficients constants.

L’équation caractéristique pour l’équation homogène est r^{2}-1=0 et ses solutions sont -1 et 1.

Une suite particulière vérifiant x_{n+2}=x_{n}+3 pour tout n est donnée par :

    \[ x_{n}=\frac{3n}{2} \]

Il existe donc des réels \lambda,\mu tels que :

    \[ \forall n\geqslant1,\:u_{n}=\frac{3n}{2}+\lambda+\mu\left(-1\right)^{n} \]

Enfin, les conditions initiales donnent :

    \[ \left\{ \begin{array}{ccc} \frac{3}{2}+\lambda-\mu & = & 1\\ \\ 3+\lambda+\mu & = & 2 \end{array}\right. \]

d’où

    \[ \left\{ \begin{array}{ccc} \lambda & = & -\frac{3}{4}\\ \mu & = & -\frac{1}{4} \end{array}\right. \]

Moralité :

    \[ \boxed{\forall n\geqslant1,\:u_{n}=\frac{6n-3-\left(-1\right)^{n}}{4}} \]

ce qui n’était pas franchement évident à conjecturer, sur la base des quelques premiers termes de la suite !

On calcule alors :

    \[ \sum_{k=1}^{n}u_{k}=\frac{3}{2}\:\frac{n\left(n+1\right)}{2}-\frac{3n}{4}-\frac{1}{4}\sum_{k=1}^{n}\left(-1\right)^{k} \]

soit finalement :

    \[ \boxed{\sum_{k=1}^{n}u_{k}=\frac{6n^{2}+1-\left(-1\right)^{n}}{8}} \]

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