exercice 1 facile

L’initialisation ne devrait poser aucun problème. Pour l’hérédité, on suppose que 10\times8^{n-1}+3^{3n-1}=19K, puis on écrit :

    \[ 10\times8^{n}+3^{3n+2}=8\left(10\times8^{n-1}+3^{3n-1}\right)+\cdots \]

 
exercice 2 facile

Pour n=2, il suffit de développer \left(1+x\right)^{2}. Pour
l’hérédité : on suppose que \left(1+x\right)^{n}>1+nx pour un certain
n (avec x>0 fixé) et on multiplie chaque membre de cette inégalité
par un même nombre …

On peut éviter la récurrence en appliquant la formule du binôme.

 
exercice 3 facile

Vérifier “bêtement” que l’inégalité est vraie au rang n=11,

puis effectuer une récurrence du second ordre.

 

Pour commencer, étudier les variations de l’application

    \[ \varphi:\left]0,+\infty\right[\rightarrow\mathbb{R},t\mapsto\left(1+\frac{1}{t}\right)^{t} \]

 

Pour initialiser la récurrence, développer \left(1-a_{1}\right)\left(1-a_{2}\right).

Pour l’hérédité, partir de l’inégalité au rang n, multiplier chaque membre par \left(1-a_{n+1}\right) puis développer.

 

Effectuer une récurrence d’ordre 2 et utiliser la relation :

    \[ \sin\left(\left(n-1\right)x\right)+\sin\left(\left(n+1\right)x\right)=2\sin\left(nx\right)\cos\left(x\right) \]

 

Pour le dernier point (avec la partie entière), distinguer deux cas selon la parité de n.

 

Il pourra être utile de noter que :

    \[ \left(n+k\right)\binom{n}{k}+\left(k-1\right)\binom{n}{k-1}=n\,\binom{n+1}{k} \]

 
exercice 9 difficile

Il s’agit de montrer le résultat suivant :

Soit n\in\mathbb{N}^{\star} et soient d_{1},\cdots,d_{q} ses diviseurs. Notons m_{i} le nombre de diviseurs de d_{i}. Alors :

    \[ \sum_{i=1}^{q}m_{i}^{3}=\left(\sum_{i=1}^{q}m_{i}\right)^{2} \]

On peut raisonner par récurrence sur le nombre de facteurs premiers de n.

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