exercice 1 facile

Pas d’indications pour cet exercice : il suffit d’appliquer les règles de calculs présentées en détail dans la vidéo calcul de dérivées – 01

 

exercice 2 facile

Idem !

 

exercice 3 facile

Il suffit de calculer la dérivée de cette fonction et de déterminer son signe. Le calcul ne présente aucune difficulté : on doit constater que F'\left(x\right) est du signe de x^{2}-2x-1.

 

exercice 4 facile

L’expression \frac{x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}} est « quasiment » de la forme -\frac{u'}{u^{2}}.

 

exercice 5 facile

Pour n=2, c’est un résultat connu, ce qui amorce une démonstration par récurrence.

 

exercice 6 facile

On raisonne par récurrence. En supposant la formule annoncée vraie au rang n, on passe au calcul de la dérivée de u^{n+1}, en observant que u^{n+1} peut s’écrire comme le produit de deux fonctions…

 

exercice 7 facile

Appliquer la formule établie à l’exercice précédent !

 

exercice 8 moyen

On sait bien à quoi ressemble la dérivée du produit de deux fonctions. Regarder ce qui se passe pour trois fonctions… conjecturer… puis démontrer par récurrence. Pour l’hérédité, penser à écrire le produit de n+1 fonctions comme un produit de deux fonctions.

 

exercice 9 difficile

Si l’on pose, pour tout x\in\mathbb{R} :

    \[ P\left(x\right)=x^{3}+x^{2}+x-1 \]

il suffit de montrer que l’équation P\left(x\right)=0 possède une unique solution \alpha et qu’en notant A le point de coordonnées \left(\alpha,\frac{1}{\alpha}\right), on a : OA<2, c’est-à-dire :

    \[\alpha^{2}+\frac{1}{\alpha^{2}}<4 \]

Partager cet article
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
Fermer le menu