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Pas d’indications ici, désolé 😉 Il suffit d’appliquer des définitions !

 

Idem

 

Idem

 

On peut commencer par dessiner une courbe qui exprime ces conditions. Pour la première condition, il faut éviter que la courbe ne passe plus d’une fois par une même ordonnée (injectivité) et, de plus, que certaines ordonnées ne soient pas atteintes (non surjectivité).

 

Prendre un quelconque y>0 et résoudre l’équation x+\sqrt{x^{2}+1}=y. Si celle-ci ne possède qu’une seule solution, c’est gagné. En outre l’expression de cette solution en fonction de y donnera la bijection réciproque.

 

Penser à une fonction trigonométrique …

 

Considérons les applications :

    \[ \varphi:x\mapsto\left\{\begin{matrix}x^{2} & \text{si }x<0\\ 0 & \text{sinon}\end{matrix}\right. \qquad\psi:x\mapsto\left\{\begin{matrix}0 & \text{si }x<0\\ x^2 & \text{sinon}\end{matrix}\right. \]

Il est vivement conseillé de dessiner leurs graphes …

De toute évidence :

    \[ \forall x\in\mathbb{R},\:\varphi\left(x\right)+\psi\left(x\right)=x^{2} \]

mais \varphi et \psi ne sont pas injectives !!
Peut-être qu’en les remplaçant par quelque chose d’approchant …

 

On peut montrer (non demandé ici !) que si f:I\rightarrow\mathbb{R} (avec I un intervalle) est continue et injective, alors f est strictement monotone. Mais sans hypothèse de continuité …?

 

La surjectivité de f est évidente, n’est-ce pas ?
Pour établir son injectivité, on se donne a,b\in E tels que :

    \[ f\left(a\right)=f\left(b\right)\qquad\left(\star\right) \]

On sait par hypothèse qu’il existe des entiers naturels non nuls p,q tels que f^{p}\left(a\right)=a et f^{q}\left(b\right)=b. Que trouve-t-on en appliquant f^{p-1} à chaque membre de \left(\star\right) ? Puis en appliquant ensuite f^{p} à chaque membre de l’égalité obtenue ?

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