Exercices sur la récurrence – 02

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On pose, pour tout x\geqslant0 :

    \[ f\left(x\right)=\frac{1}{1+x} \]

On désigne par f^{n} la “n-ème itérée” de f, qui est définie comme suit, par récurrence.

Pour tout x\geqslant0 :

    \[ f^{0}\left(x\right)=x\qquad\text{et}\qquad\forall n\in\mathbb{N},\thinspace f^{n+1}\left(x\right)=f\left(f^{n}\left(x\right)\right) \]

Conjecturer, puis démontrer par récurrence, une formule générale.

 

Montrer que, pour tout x\in\mathbb{R} et tout n\in\mathbb{N} :

    \[ \left|\sin\left(nx\right)\right|\leqslant n\left|\sin\left(x\right)\right| \]

 

Pour tout n\in\mathbb{N}^{\star}, on notera \mathbb{N}_{n} l’ensemble \left\{ 1,\cdots,n\right\} . Par ailleurs, si E est un ensemble, alors \mathcal{P}\left(E\right) désigne l’ensemble des parties de E.

Pour tout X\in\mathcal{P}\left(\mathbb{N}_{n}\right)-\left\{ \emptyset\right\} , on pose :

    \[ f\left(X\right)=\prod_{x\in X}x \]

Calculer, pour tout n\in\mathbb{N}^{\star} :

    \[ S_{n}=\sum_{X\in\mathcal{P}\left(\mathbb{N}_{n}\right)-\left\{ \emptyset\right\} }\frac{1}{f\left(X\right)} \]

S_{n} est la somme des inverses des produits des éléments des diverses parties non vides de \mathbb{N}_{n}.

 

Montrer que, pour tout p\in\mathbb{N}, il existe une unique fonction polynomiale de degré p+1 telle que :

    \[ \forall n\in\mathbb{N}^{\star},\thinspace\sum_{k=1}^{n}k^{p}=S_{p}\left(n\right) \]

Expliciter S_{5}.

 

Démontrer par récurrence l’inégalité de Cauchy-Schwarz :

    \[ \forall n\geqslant2,\thinspace\forall\left(x_{1},\cdots,x_{n}\right)\in\mathbb{R}^{n},\thinspace\forall\left(y_{1},\cdots,y_{n}\right)\in\mathbb{R}^{n},\thinspace\left(\sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}\right)^{2}\leqslant\left(\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)\left(\sum_{i=1}^{n}y_{i}^{2}\right) \]

 

Soit I un intervalle de \mathbb{R} (ni vide, ni réduit à un singleton) et soit f:I\rightarrow\mathbb{R} une application. On suppose que f est convexe, c’est-à-dire :

    \[ \forall t\in\left[0,1\right],\thinspace\forall\left(x,y\right)\in I^{2},\thinspace f\left(\left(1-t\right)x+ty\right)\leqslant\left(1- t\right)f\left(x\right)+t\thinspace f\left(y\right) \]

Pour tout entier n\geqslant2, on note :

    \[ \Delta_{n}=\left\{ \left(t_{1},\cdots,t_{n}\right)\in\left[0,+\infty\right[^{n};\thinspace\sum_{i=1}^{n}t_{i}=1\right\} \]

Etablir “l’inégalité de Jensen discrète” :

    \[ \forall n\geqslant2,\thinspace\forall\left(t_{1},\cdots,t_{n}\right)\in\Delta_{n},\thinspace\forall\left(x_{1},\cdots,x_{n}\right)\in I^{n},\thinspace f\left(\sum_{i=1}^{n}t_{i}x_{i}\right)\leqslant\sum_{i=1}^{n}t_{i}\thinspace f\left(x_{i}\right) \]

 

Soit E un espace vectoriel sur le corps \mathbb{K}. Etant donné un endomorphisme u\in\mathcal{L}\left(E\right) (c’est-à-dire une application linéaire de E dans E), on appelle “vecteur propre” pour u tout vecteur x\in E, non nul et tel qu’il existe un scalaire \lambda\in\mathbb{K} vérifiant u\left(x\right)=\lambda x. Le scalaire \lambda est alors unique : on l’appelle la valeur propre associée à x (pour l’endomorphisme u).

En d’autres termes un vecteur propre pour u est un vecteur non nul x tel que la famille \left(x,\thinspace u\left(x\right)\right) soit liée.

Montrer par récurrence que si \left(x_{1},\cdots,x_{n}\right) est une famille de vecteurs propres pour u, associés à des valeurs propres toutes distinctes, alors cette famille est libre.

Soit E un espace vectoriel. Montrer que pour tout entier n\geqslant1, si \left(x_{1},\cdots,x_{n}\right) est une famille quelconque de vecteurs de E et si pour chaque i\in\left\{ 1,\cdots,n+1\right\} , le vecteur y_{i} est combinaison linéaire de x_{1},\cdots,x_{n} alors la famille \left(y_{1},\cdots,y_{n+1}\right) est liée.

 

On se propose d’établir l’inégalité entre moyennes arithmétique et géométrique, à savoir :

    \[ \forall n\geqslant2,\thinspace\forall\left(x_{1},\cdots,x_{n}\right)\in\left]0,+\infty\right[^{n},\thinspace\left(\prod_{i=1}^{n}x_{i}\right)^{1/n}\leqslant\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i} \]

en procédant par une récurrence directe (par constraste avec la preuve de Cauchy, qui procède par récurrence “à l’envers”).

1) Etablir l’inégalité au rang n=2, afin d’initialiser la récurrence.
2) On suppose l’inégalité vraie au rang n, pour un certain n\geqslant2. Soient alors x_{1},\cdots,x_{n+1}>0 et soit A leur moyenne arithmétique :

    \[ A=\frac{1}{n+1}\sum_{i=1}^{n+1}x_{i} \]

a) Que peut-on dire si \forall i\in\left\{ 1,\cdots,n+1\right\} ,\thinspace x_{i}=A ?

b) On suppose désormais le contraire. Montrer qu’il existe des indices i,j tels que :

    \[ 1\leqslant i,j\leqslant n+1\quad\text{et}\quad\left\{ \begin{array}{ccc} x_{i} & < & A\\ x_{j} & > & A \end{array}\right. \]

c) Vérifier que :

    \[ A\left(x_{i}+x_{j}-A\right)>x_{i}x_{j} \]

d) Conclure quant à l’hérédité, en appliquant l’hypothèse de récurrence à la liste de n réels strictement positifs obtenue à partir de \left(x_{1},\cdots,x_{n+1}\right) en retirant x_{i} et x_{j} en insérant x_{i}+x_{j}-A (qui est strictement positif d’après le point précédent).

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