On pose, pour tout :
On désigne par la “
ème itérée” de
qui est définie comme suit, par récurrence.
Pour tout :
Conjecturer, puis démontrer par récurrence, une formule générale.
Montrer que, pour tout et tout
:
Pour tout on notera
l’ensemble
Par ailleurs, si
est un ensemble, alors
désigne l’ensemble des parties de
Pour tout on pose :
Calculer, pour tout :
est la somme des inverses des produits des éléments des diverses parties non vides de
Montrer que, pour tout il existe une unique fonction polynomiale de degré
telle que :
Expliciter
Démontrer par récurrence l’inégalité de Cauchy-Schwarz :
Soit un intervalle de
(ni vide, ni réduit à un singleton) et soit
une application. On suppose que
est convexe, c’est-à-dire :
Pour tout entier on note :
Etablir “l’inégalité de Jensen discrète” :
Soit un espace vectoriel sur le corps
Etant donné un endomorphisme
(c’est-à-dire une application linéaire de
dans
on appelle “vecteur propre” pour
tout vecteur
non nul et tel qu’il existe un scalaire
vérifiant
Le scalaire
est alors unique : on l’appelle la valeur propre associée à
(pour l’endomorphisme
En d’autres termes un vecteur propre pour est un vecteur non nul
tel que la famille
soit liée.
Montrer par récurrence que si est une famille de vecteurs propres pour
associés à des valeurs propres toutes distinctes, alors cette famille est libre.
Soit un espace vectoriel. Montrer que pour tout entier
si
est une famille quelconque de vecteurs de
et si pour chaque
le vecteur
est combinaison linéaire de
alors la famille
est liée.
On se propose d’établir l’inégalité entre moyennes arithmétique et géométrique, à savoir :
en procédant par une récurrence directe (par constraste avec la preuve de Cauchy, qui procède par récurrence “à l’envers”).
1) Etablir l’inégalité au rang afin d’initialiser la récurrence.
2) On suppose l’inégalité vraie au rang pour un certain
Soient alors
et soit
leur moyenne arithmétique :
a) Que peut-on dire si ?
b) On suppose désormais le contraire. Montrer qu’il existe des indices tels que :
c) Vérifier que :
d) Conclure quant à l’hérédité, en appliquant l’hypothèse de récurrence à la liste de réels strictement positifs obtenue à partir de
en retirant
et
en insérant
(qui est strictement positif d’après le point précédent).