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exercice 1 facile
Montrer par récurrence que 10\times8^{n-1}+3^{3n-1} est divisible par 19, quel que soit l’entier n\geqslant1.

 
exercice 2 facile
(Inégalité de Bernoulli) – Prouver par récurrence que, pour tout entier n\geqslant2 et pour tout x>0 :

    \[ \left(1+x\right)^{n}>1+nx \]

Est-il possible de s’en sortir autrement que par récurrence ?

 
exercice 3 facile

F_{n} désigne le n-ème nombre de Fibonacci. On rappelle que :

    \[ F_{0}=0,\qquad F_{1}=1,\qquad\forall n\geqslant1,\thinspace F_{n+1}=F_{n}+F_{n-1} \]

Montrer que, pour tout n\geqslant11 :

    \[ F_{n}>\left(\frac{3}{2}\right)^{n} \]

 

Etablir la majoration :

    \[ \forall t>0,\thinspace\left(1+\frac{1}{t}\right)^{t}<e \]

En déduire, en raisonnant par récurrence, que :

    \[ \forall n\in\mathbb{N},\:n!\geqslant e^{-n}\left(n+1\right)^{n} \]

 

Soit n\in\mathbb{N}^{\star} et soient a_{1},\cdots,a_{n}\in\left]0,1\right[. Etablir, au moyen d’une récurrence, que :

    \[ \prod_{k=1}^{n}\left(1-a_{k}\right)\geqslant1-\sum_{k=1}^{n}a_{k} \]

 

Montrer que, pour tout n\in\mathbb{N}, il existe un unique polynôme Q_{n} à coefficients entiers tel que :

    \[ \forall x\in\mathbb{R},\:\sin\left(\left(n+1\right)x\right)=\sin\left(x\right)\thinspace Q_{n}\left(\cos\left(x\right)\right) \]

 

On pose, pour tout n\geqslant1 :

    \[ A_{n}=\sum_{k=1}^{n}\left(-1\right)^{k-1}k \]

Calculer A_{n} pour 1\leqslant n\leqslant6 et reporter les résultats dans un tableau.
Démontrer par récurrence la propriété suivante :

    \[ \forall n\in\mathbb{N}^{\star},\thinspace A_{n}=\frac{\left(-1\right)^{n-1}\left(2n+1\right)+1}{4} \]

Vérifier que :

    \[ \forall n\in\mathbb{N}^{\star},\thinspace A_{n}=\left(-1\right)^{n-1}\left\lfloor \frac{n+1}{2}\right\rfloor \]

 

Soit f:\left]0,+\infty\right[\rightarrow\mathbb{R} de classe C^{\infty}.

Montrer que pour tout n\geqslant1, la dérivée n-ème de g:x\mapsto f\left({\displaystyle \frac{1}{x}}\right) est donnée par :

    \[ g^{\left(n\right)}\left(x\right)=\left(-1\right)^{n}\left(n-1\right)!\,\sum_{k=1}^{n}\,\frac{\binom{n}{k}}{\left(k-1\right)!\,x^{n+k}}\,f^{\left(k\right)}\left(\frac{1}{x}\right) \]

 
exercice 9 difficile

Considérons un entier naturel non nul, par exemple n=12. La liste de ses diviseurs est :

    \[ 1,2,3,4,6,12 \]

Pour chaque diviseur, on compte le nombre de ses diviseurs, ce qui donne la liste :

    \[ 1,2,2,3,4,6 \]

On constate alors que :

    \[ 1^{3}+2^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+6^{3}=324=18^{2}=\left(1+2+2+3+4+6\right)^{2} \]

Formuler un énoncé général, puis le démontrer.


 

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