icone-math-OS-Exos

Pour les définitions des termes : «correspondance», «fonction», «application», «injection», «surjection» et «bijection», on pourra se reporter aux deux vidéos :

Correspondances, Fonctions, Applications – Partie 1
Correspondances, Fonctions, Applications – Partie 2

 

Chacun des dessins ci-dessous représente une correspondance. Expliquer, dans chaque cas, s’il s’agit d’une application et – le cas échéant – d’une injection, d’une surjection, voire d’une bijection :

 

Préciser, pour chaque application, si elle est injective (ou non), surjective (ou non) :

    \begin{eqnarray*} f: & \mathbb{N}^{\star} \rightarrow \mathbb{N}, & n \mapsto 3n-2\\ g: & \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}, & n \mapsto n+\left(-1\right)^{n}\\ h: & \mathbb{N}^{\star} \rightarrow \mathbb{N}, & n \mapsto n^{2}-n \end{eqnarray*}

Comparer avec l’exercice suivant.

 

Pour chacune des applications suivantes, préciser s’il s’agit d’une injection (ou non), d’une surjection (ou non) :

    \begin{eqnarray*} u: & \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} , & x \mapsto 3x-2\\ v: & \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} , & x \mapsto x+\cos\left(\pi x\right)\\ w: & \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} , & x \mapsto x^{2}-x \end{eqnarray*}

Comparer avec l’exercice précédent.

 

Montrer que l’application

    \[ Q:\mathbb{R}\rightarrow\left]0,+\infty\right[,\thinspace x\mapsto x+\sqrt{x^{2}+1} \]

est une bijection et déterminer sa réciproque. En déduire que l’application

    \[ \text{A}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},\thinspace x\mapsto \ln\left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right) \]

est aussi une bijection. Quelle est sa réciproque ?

 

 

Proposer un exemple d’application de \mathbb{R} dans \mathbb{R} qui soit injective et non surjective. Proposer aussi un exemple d’application de \mathbb{R} dans \mathbb{R} qui soit surjective et non injective.

 

 

Donner un exemple d’application périodique et surjective de \mathbb{R} dans \mathbb{R}.

 

Trouver deux applications u,v:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} injectives telles que \forall x\in\mathbb{R},\thinspace u\left(x\right)+v\left(x\right)=x^{2}.

 

«Une application injective f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} est nécessairement strictement monotone» : VRAI ou FAUX ?

 

Soit f:E\rightarrow E une application (l’ensemble E est quelconque).

Pour tout n\in\mathbb{N}, on note f^{n} la n-ème itérée de f.

On rappelle que, par définition : f^{0}=id_{E} et \forall n\in\mathbb{N},\thinspace f^{n+1}=f\circ f^{n}.

Montrer que si

    \[ \forall x\in E,\,\exists n\in\mathbb{N}^{\star};\,f^{n}\left(x\right)=x \]

alors f est une bijection.

 


 

Cliquer ici pour accéder pour accéder aux indications.

Partager cet article
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
Fermer le menu